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Financial Story/재테크 기본 이론

[재테크와 금융투자] ④ 금융경제학 이론 II : 위험과 수익률

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1. 기대수익률과 위험

 

1.1 투자 성향 분석 가이드 라인

- 금융 상품을 가입하기 전에 투자 정보확인서 작성 : 고객의 투자 성향 확인

- 투자 성향 검사 항목

- 항목별 점수를 이용한 개인 종합 점수 계산

- 점수에 따른 투자 성향 파악 : 5가지 유형 (안정형, 안정추구형, 위험중립형, 적극투자형, 공격투자형 등)

 

1.2 기대수익률과 위험

1) 투자 자산

- 미래의 불확실한 현금 흐름

 

2) 기대 수익률

- 미래 수익률의 기대치, 평균

- 기대수익률 = 기대수익/투자금액 $ = {E[P_1] - P_0 \over P_0} = E[r] $

- 예) 기대수익 ≠ 실현수익률(사후수익률) $ = {P_1 - P_0 \over P_0} $

 

3) 위험 (Risk) 

- 미래 수익률의 변동성 (Volatility), 분산 또는 표준편차

- $ Var(r) = E[(r-E[r])^2] $

- 예) 불확실성 (uncertainty) $ \ne Risk \ne Danger $

 

1.3 투자 자산의 가치

- 각 투자 자산은 기대수익률과 위험에 의해서 구분 : $Value(A)=f(E[r_A],\sigma_A^2)$

- 평균 : $E(r) = \sum r_i p_i$

- 분산 : $Var(r) = \sigma^2 = \sum [r_i - E(r)]^2 p_i = E(r^2) - [E(r)]^2 $

- 표준편차 : $\sigma = \sqrt{Var(r)}$

정규분포 - Normal Distribution (이미지: wikimedia.org)

 

- Q) 예제 : (현재) 1,000만원씩 주식에 투자 → (1년 후) 가치/확률은 각각 1,300만원(30%), 1,100만원(40%), 900만원(30%)

A1) 각각의 투자수익률은?

  •  투자수익률 $ = {1,300 - 1,000 \over 1,000} = 0.3 $
  •  투자수익률 $ = {1,100 - 1,000 \over 1,000} = 0.1 $
  •  투자수익률 $ = {900 - 1,000 \over 1,000} = -0.1 $

A2) 평균은?

  • $ E[r] = {\sum r_i P_i } = 0.3 \times 0.3 + 0.1 \times 0.4 - 0.1 \times 0.3 = 0.1 $

A3) 분산은?

$$ \begin{align} Var(r) &= \sigma^2 = {\sum [r_i - E(r)]^2} p_i \\ &= (0.3-0.1)^2 \times 0.3 + (0.1-0.1)^2 \times 0.4 + (-0.1-0.1)^2 \times 0.3 \end{align}$$

A4) 표준편차는?

  • $ \sigma = \sqrt{Var(r)} $

 

 

2. 포트폴리오의 위험분산 효과

 

2.1 포트폴리오의 기대수익률과 위험

1) 포트폴리오란?

- 위험을 분산하고 투자수익을 극대화하기 위하여 여러 종목으로 나누어 투자한 자산 묶음

  • 포트폴리오 $ P = \alpha A + \beta B, \alpha + \beta = 1 $
  • 예1) 포트폴리오1 = 0.2×정기예금 + 0.3×채권 + 0.4×주식 + 0.1×부동산
  • 예2) 포트폴리오2 = 0.5×정기예금 + 0.5×부동산

 

2) 포트폴리오의 기대수익률

$ E(\alpha r_A + \beta r_B ) = \alpha E(r_A) + \beta E(r_B) $

$ E[r_p] = $ 자산A의 구성비율 × 자산A의 기대수익률 + 자산B의 구성비율 × 자산B의 기대수익률

 

3) 포트폴리오의 위험

$ Var(r_A + r_B) = Var(r_A) + Var(r_B) + 2Cov(r_A, r_B) $

$ Var(\alpha r_A + \beta r_B) = \alpha^2 Var(r_A) + \beta^2 Var(r_B) + 2\alpha \beta Cov(r_A, r_B) $

$ Var(r_p) = $ (자산A의 구성비율2 × 자산A의 분산) + (자산B의 구성비율2 × 자산B의 분산) + ( 2 × 자산A의 구성비율 × 자산B의 구성비율 × 공분산)

 

4) 자산 사이의 공분산

  • $ Cov(r_A, r_B) = E[r_A - E(r_A)][r_B - E(r_B)] = E(r_A r_B) - E(r_A) E(r_B) $
  • $ Cov(r_A, r_B) = $ (자산A의 편차 × 자산B의 편차 × 확률)의 총합

$$ \begin{align} Var(r_A + r_B ) &= Var(r_A ) + Var(r_B ) + 2Cov(r_A , r_B ) \\ &= Var(r_A ) + Var(r_B ) + 2Corr(r_A , r_B ) \sqrt{Var(r_A )} \sqrt{Var(r_B )} \end{align} $$

 

- 상관계수 : $ Corr(r_A , r_B ) = \rho_AB = { Cov(r_A , r_B ) \over \sqrt{ Var(r_A ) } \sqrt{ Var(r_B ) } } $

$ Var(\alpha r_A + \beta r_B ) = \alpha^2 Var(r_A ) + \beta^2 Var(r_B ) + 2\alpha \beta Cov(r_A , r_B ) $

$ Cov(\alpha r_A , \beta r_B ) = \alpha \beta Cov(r_A , r_B ) $

 

5) 예제 

- Q1) 자산A와 B의 수익률 확률분포가 아래와 같을 때, 각 자산의 기대수익률과 분산, 표준편차 구하기

상황 확률 수익률
자산A 자산B
호황 0.4 0.30 0.10
불황 0.6 0.05 0.15

 

$ S = { 1 = $ 호황, $ , 2 = $ 불황 $ }, p(1) = 0.4, p(2) = 0.6$

자산 A의 경우, $ r_A (1) = 0.3, r_A (2) = 0.05 $

$ E(r_A ) = p(1)r_A (1) + p(2) r_A (2) = 0.4 \times 0.3 + 0.6 \times 0.05 = 0.15 $

$$ \begin{align} Var(r_A ) &= p(1)[r_A (1) - E(r_A (1))]^2 + p(2)[r_A (2) - E(r_A (2))]^2  \\ &= 0.4 \times (0.3 - 0.15)^2 + 0.6 \times (0.05-0.15)^2 = 0.015 \end{align} $$

$ SD(r_A ) = \sqrt{0.015} = 0.1225 $

 

자산 B의 경우, $ r_B (1) = 0.1, r_B (2) = 0.15 $

$ E(r_B ) = 0.13, Var(r_B ) = 0.0006, SD(r_B ) = 0.0245 $

 

- Q2) 자산A와 B 각각 50%로 구성된 포트폴리오의 기대수익률 및 분산 구하기

$ I = {A, B}, \alpha = 0.5, \beta = 0.5 $

$ E(r_p ) = \alpha E[r_A ] + \beta E[r_B ] = 0.5 \times 0.15 + 0.5 \times 0.13 = 0.14 $

$ Cov(r_A , r_B ) = 0.4 \times (0.3-0.15)(0.1-0.13) + 0.6 \times (0.05-0.15)(0.15-0.13) = -0.003 $

$ \rho_{AB} = { Cov(r_A r_B ) \over \sigma_A \times \sigma_B } = - {0.003 \over 0.1225} \times 0.0245 = -1 $

$ Var(r_p ) = 0.5^2 \times 0.015 + 0.5^2 \times 0.0006 + 2 \times 0.5 \times 0.5 \times (-0.003) = 0.0024 $

$ SD(r_p ) = \sqrt{0.0024} = 0.04899 $

 

2.2 상관계수와 위험분산 효과

- 상관계수 ↓ → 위험 ↓ (위험분산 효과 ↑)
- 상관관계가 낮은 자산들을 결합한 경우, 포트폴리오의 위험분산 효과는 증가함
- 일정한 기대수익률 하에서 위험 감소효과 극대화

 

1) 상관계수 : $ Corr(r_A , r_B ) = \rho_AB = { Cov(r_A ,r_B ) \over \sqrt {Var(r_A )} \sqrt {Var(r_B ) } } $

- 공분산을 각 투자안의 표준편차로 나누어 표준화한 값. 각 투자안 수익률의 상관관계를 보다 분명하게 측정할 수 있도록 나타낸 것

- 두 자산의 상관계수가 -1 일 때, 특정 구성비율에 따라 포트폴리오를 구성하면 위험을 완전히 제거할 수 있음

- $ -1 \le \rho_AB \le  1 $

  • $ \rho_AB = 0 $ 인 경우 :  두 투자안의 수익률이 독립적으로 움직임
  • $ \rho_AB = 1 $ 인 경우 : 두 투자안의 수익률이 양(+)의 기울기를 갖는 완전한 직선 관계
  • $ \rho_AB = -1 $ 인 경우 : 두 투자안의 수익률이 음(-)의 기울기를 갖는 완전한 직선 관계

상관계수와 위험분산 효과

 

2) 포트폴리오 p의 분산을 공분산과 상관계수 관계를 이용하여 정리

$ Var(r_p ) = $ (자산A의 구성비율2 × 자산A의 분산) + (자산B의 구성비율2 × 자산B의 분산) + (2 × 자산A의 구성비율 × 자산B의 구성비율 × 자산A의 표준편차 × 자산B의 표준편차 × 상관계수)

 

2.3 구성 자산의 수와 위험분산 효과

구성자산의 수 ↑ → 포트폴리오의 위험 ↓ (위험분산효과 ↑)

 

자산의 총위험

= 체계적 위험 + 비체계적 위험

= 분산 불가능 위험 + 분산 가능 위험

= 시장 위험 + 개별 위험

구성자산의 수와 위험 분산 효과 (이미지 : tradingcampus)

 

2.4 위험 관리

- 계란을 한 바구니에 담지 마라 - Don't put all your eggs in one basket !

계란을 한 바구니에 담지 마라 (이미지 : investingtips360)

 

 

3. 위험과 기대수익률의 관계 

 

3.1 자본자산 가격결정 이론 (CAPM, Capital asset pricing model)

1) CAPM이란?

  • 현대 금융 이론 핵심이론
  • 기업의 가치를 계산하거나 자산에 대한 투자 결정을 보조할 때 가장 많이 사용되는 재무 모델 (금융 실무에서 압도적으로 많이 사용됨)
  • CAPM은 투자자들이 평균-분산 기준 (mean-variance criterion)에 따라 각자의 기대효용을 극대화할 수 있는 최적 포트폴리오를 선택하는 경우 자본시장의 균형 상태에서 위험 자산의 가격이 어떻게 결정되는가 하는 것을 설명하는 모형
  • CAPM은 해리 마코위츠(Harry Markowitz, 1952)의 포트폴리오 이론(portfolio selection theory)을 확대 · 발전시킨 모형으로 윌리엄 샤프(William Sharpe, 1964), 린트너(J. Lintner, 1965), 모신(J. Mossin, 1966) 등에 의해 개발 → 1990년 마코위츠 & 샤프는 노벨경제학상 수상

 

2) CAPM을 이용한 기업가치평가

  1. 시장 변동성과 해당 주식의 변동성을 기반으로 베타($\beta $)를 구한 후 요구수익률을 산출
  2. 기업의 과거 상황(재무제표 기준)과, 현재 상황(기업구조, 유·무형 가치 등)을 바탕으로 기업의 성장성을 예측
  3. 성장성을 바탕으로 미래 기업으로부터 얻어질 가치 계산
  4. 해당 가치를 요구수익률로 할인

 

자본자산 가격결정 이론 - CAPM, Capital Asset Pricing Model (source : Youtube)

 

3.2 CAPM : 자본시장선 (CML, Capital Market Line)

1) 자본시장선 (CML, Capital market line) 이란?

$ E(r_p ) = r_f + [ { E(r_m ) - r_f \over \sigma_M } ] = \sigma_p $

  • $ E(r_p ) $ : 효율적 포트폴리오의 기대수익률
  • $ r_f $ : 무위험이자율
  • $ E(r_M ) $ : 시장포트폴리오 기대수익률
  • $ \sigma_M $ : 시장포트폴리오 수익률의 표준편차
  • $ \sigma_p $ : 효율적 포트폴리오 수익률의 표준편차

 

- 효율적 포트폴리오 기대수익률과 위험의 선형 관계를 나타내는 직선

- 기대수익률 = 무위험이자율 + (위험의 균형가격) × (위험) = 무위험이자율 + 위험 프리미엄

자본시장선- CML, Capital Market Line (이미지 : SlidePlayer by Jayden Heck)

 

2) 자본시장선(CML) 예제 : 무위험이자율이 5%이고, 시장포트폴리오의 기대수익률이 20%, 표준편차라 10%라고 할 때, 자본시장선 구하기

  • $ E(r_p ) = r_f + [ { E(r_M ) - r_f \over \sigma_M } ] \sigma_p $ 이므로
  • $ E(r_p ) = 0.05 + [ { 0.2 - 0.05 \over 0.1 } ] \sigma_p = 0.05 + 1.5 \sigma_p $

 

3.3 CAPM : 증권시장선 (SML, Security Market Line)

1) 증권시장선 (SML, Security market line) 이란? 

$ E(r_j ) = r_f + [E(r_M ) -r_f ] \beta_j $

  • $ E(r_j ) $ : 자산 j의 기대수익률
  • $ r_f $ : 무위험이자율
  • $ E(r_M ) $ : 시장포트폴리오 기대수익률

 

- 모든 위험자산의 기대수익률과 체계적 위험의 선형 관계를 나타내는 직선

- 개별 증권의 기대수익률 = 무위험이자율 + (시장위험 프리미엄) × (체계적 위험) = 무위험이자율 + 위험 프리미엄

- 체계적 위험 척도: 베타($\beta $)

  • $ \beta_j = $ 자산j와 시장포트폴리오의 공분산 / 시장포트폴리오의 분산 = $ { cov(r_j, r_M ) \over var(r_M ) } $
  • 개별 증권 또는 포트폴리오의 수익이 증권시장 전체의 움직임에 대해서 얼마나 민감하게 반응해 변동하는 가를 나타내는 수치

주식시장선 - SML, Security Market Line (이미지 : SlidePlayer by Jayden Heck)

 

2) 증권시장선 (SML) 예제 : 무위험이자율이 8%이며, 시장수익률이 10%로 기대될 때 증권시장선 구하기. 베타가 1.5인 증권 K의 기대수익률 구하기

  • A1) 증권시장선
    • $ E(r_j ) = r_f + [E(r_M ) - r_f ] \beta_j $ 이므로
    • $ E(r_j ) = 0.08 + [ 0.10 - 0.08 ] \beta_j = 0.08 + 0.02 \beta_j $
  • A2) 베타가 1.5인 증권 k의 기대수익률 
    • $ E(r_k ) = 0.08 + 0.02 × 1.5 = 0.11 (11%) $

 

3.4 CML과 SML의 비교

  자본시장선 (CML) 증권시장선 (SML)
동일한 점 기대수익률과 위험의 선형 관계를 보여 줌
차이점 평가 대상 무위험 자산,
시장 포트폴리오
개별 주식,
효율적 포트폴리오,
비효율적 포트폴리오
위험 총위험 (표준편차) 체계적 위험 (베타)

 

CML과 SML 비교 (source : youtube)

 

 

# 정리하기

  1. 투자자산의 미래 현금흐름의 특성기대치로 측정될 수 있으며, 평균과 분산(또는 표준편차)이라는 기초통계량으로 표현
    • 평균은 미래에 기대되는 수익률의 평균수익률, 분산은 수익률이 평균에서 벗어난 정도를 측정
    • 분산(또는 표준편차)은 위험의 측도로 사용. 개별 자산들의 합으로 포트폴리오를 구성할 경우, 기대수익률과 분산은 기대치 연산에 의해 계산되는데, 특히 위험을 나타내는 분산의 경우 개별 자산의 분산과 공분산의 합으로 구성됨.
    • 공분산이 양의 값이라면 두 자산수익률이 평균적으로 같은 방향으로 움직이고, 공분산이 음의 값이라면 두 자산수익률이 평균적으로 다른 방향으로 움직임을 의미
  2. 투자자가 포트폴리오를 구성하려는 이유는 일정한 기대수익률 하에서 투자위험을 최소화할 수 있는 포트폴리오의 위험분산효과에 의해 설명될 수 있음.
    • 일반적으로는 구성자산들 간의 상관계수가 작을수록, 포트폴리오의 위험분산효과가 크게 나타남
    • 자산수익률의 분산(총위험)은 포트폴리오의 구성자산 수를 증가시킴에 따라 제거할 수 있는 부분, 즉 비체계적 위험제거할 수 없는 부분, 즉 체계적 위험으로 구성됨
    • 따라서 구성자산의 수가 많을수록 위험분산효과는 커지게
  3. 자본자산가격결정모형(CAPM)자산의 위험과 기대수익률 사이에 어떠한 관계가 성립하여야 하는가를 보여주는 이론 모형
    • CAPM에 따르면, 모든 투자자들이 보유하는 위험자산의 최적포트폴리오는 시장포트폴리오(market portfolio: M)
    • 최적포트폴리오란 투자자의 기대효용을 가장 극대화시켜 주는 포트폴리오로, 자본시장선 상의 시장포트폴리오와 무위험자산의 결합으로 이루어짐
    • 시장포트폴리오시장에서 거래되는 모든 위험자산이 시장가치 비율대로 구성되어 있는 포트폴리오
    • 자본시장선(CML)이란 효율적 포트폴리오의 기대수익률과 위험 사이의 선형관계를 나타낸 것
  4. CAPM에 따르면, 균형 하에서 개별 자산(또는 포트폴리오)의 기대수익률이 그 자산의 체계적 위험의 지표인 베타계수와 선형적 관계를 가지고 있는데, 이러한 관계를 증권시장선(SML)이라 한다.
    • 즉, 자본시장이 균형을 이룰 때 어떤 자산의 가격은 그 자산에 대한 기대수익률과 위험 사이에 선형적 관계가 성립하도록 자산가격이 결정되는데, 이 때의 가격이 그 자산에 대한 수요와 공급을 일치시키는 균형가격임
    • 베타($\beta =$ 자산 i와 시장포트폴리오의 공분산 / 시장포트폴리오의 분산)는 시장수익률의 변동에 대한 개별자산의 민감도를 나타냄
    • 이에 따라 개별자산의 위험프리미엄시장포트폴리오의 위험프리미엄과 그 자산의 체계적 위험을 나타내는 베타계수에 비례

 

 

방송대 경제학과, 재테크와 금융투자 - 강의 노트 정리

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